有限開覆蓋原理

所謂有限開覆蓋定理，是指：對於有界閉區間[a，b]的一個（無限）開覆蓋H中，總能選出有限個開區間來覆蓋[a，b]。

這一問題可用區間套定理來證明。（區間套定理：若[an，bn]是一個區間套，則在實數系中存在唯一一點C，使對任何n都有c屬於[an，bn].{an}單調遞增，{bn}單調遞減，都以c為極限。）

證明：用反證法 假定不能用H中有限個開區間來覆蓋[a，b].

將[a，b]等分為兩個子區間，則其中至少有一個子區間不能用H中有限個開區間來覆蓋。記這個子區間為[a1，b1]，則[a1，b1]包含於[a，b]，且b1-a1=(b-a)/2.

再將[a1，b1]等分為兩個子區間，同樣，其中至少有一個不能用H中有限個開區間覆蓋。記這個子區間為[a2，b2]，則[a2，b2]包含於[a1，b1]，且b2-a2=(b-a)/2^2.

重複以上步驟並不斷進行下去，則可得到區間列{[an，bn]}，它滿足區間套條件，且其中每一個閉區間都不能用H中有限個開區間來覆蓋。