sinx/x的極限x趨近於0，結果等於1。
當x在0到二分之π之間時，有重要的不等式sinx<x<tanx，因此在這個區間上，不等式的三個式子同時除以sinx，得到1<x/sinx<1/cosx. 同時取倒數可以得到cosx<sinx/x<1。
又cos(-x)=cosx， sin(-x)/(-x)=sinx/x，即由偶函數的性質，可以知道當x在負二分之π到0之間時，依然有cosx<sinx/x<1。從而，當x在U0(0，π/2)的空心鄰域上時，cosx<sinx/x<1。而cosx在x趨於0時的極限為1，1的極限自然也為1了。由極限的迫斂性，就有sinx/x在x趨近於0的極限也等於1.
1、當 x→0時，sin(1/x) 的值在[-1，1]內波動，極限當然不存在
2、而 x*sin(1/x) 顯然是趨於0的＝（X/X）－（Sinx/x） X/X＝1 Sinx/x＝1(洛必達法則)（分子分母同時為零，結果等於分子分母各自求導再相除，即cosx/1，等於1） 所以原式＝1－1＝0
極限為0，因為當x趨近於無窮大的時候sinx的取值範圍是[-1，1]。而x為分母，當趨近於無窮大的時候sinx/x的極限是0。 極限的定義： 極限是微積分中的基礎概念，它指的是變量在一定的變化過程中，從總的來説逐漸穩定的這樣一種變化趨勢以及所趨向的值（極限值）。極限的概念最終由柯西和魏爾斯特拉斯等人嚴格闡述。
sinx的極限是：當x趨於0時，sinx的極限是0。lim（x→0）sinx=sin0=0求y=sinx，當x趨向0時的極限，可以直接帶入法求得。“極限”指：某一個函數中的某一個變量，此變量在變大（或者變小）的永遠變化的過程中，逐漸向某一個確定的數值A不斷地逼近而“永遠不能夠重合到A”（“永遠不能夠等於A，但是取等於A‘已經足夠取得高精度計算結果）的過程中，此變量的變化，被人為規定為“永遠靠近而不停止”、其有一個“不斷地極為靠近A點的趨勢”。
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