1、基本概念
約翰·彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷（1805－1859），德國數學家，創立了現代函數的正式定義。
狄利克雷提出了一個非常古怪的函數，叫做狄利克雷函數，專門有個符號D(X)來表示：
特點：
狄利克雷函數，因為無理數、有理數的混雜，所以函數值也是互相參雜，可以直觀的想象，該函數：
畫不出圖像
處處沒有極限
處處不連續
這是一個有界函數
其實也可以勉強畫出它的圖像，在宏觀角度下看
但實際上它的圖像不是正真連續的直線，在微觀上看，這兩條直線應該充滿了許多的小洞，因為實數是由有理數，無理數才可以鋪滿它。
所以狄利克雷函數並不是連續函數。（連續函數的定義需滿足：1.在此處有定義2.在此區間內有極限）因為它雖然在實數範圍內有定義，但是函數圖像來回波動，沒有一個確切的極限。
用嚴謹的數學表達式可以寫成如下格式：
大白話解釋：
（1）首先第一個明白什麼是有理數，無理數，小學我們就學過，無理數是無限不循環小數，有理數是有限小數或無限循環小數，任何一個有理數後可以化為分數的形式，而無理數則不能。
注意：（3.000也是有限小數，也就是説整數可以化成小數形式，即所有整數都是有理數）
（2）然後你要知道有理數是2個整數相除的形式，而無理數不能寫成2個整數相除。k！是k的階乘，就是1×2×...×k。如果k趨於無窮那麼k！就是所有整數的成乘積。所以x如果是有理數那麼xk！就是整數(有理數放大無窮大倍數，就變成整數)。cos pi k！x的值只能是±1，外面再乘一個2次方變1。然後就一直是1了。反之x是無理數，xk！一定不是整數，cos pik！x就不能等於+-1，根據餘弦函數的值域，cospik！x就只能取絕對值小於1的數了，那麼在外面在來個2j次方，j趨於無窮，最後一定是0啊。
（2）狄利克雷函數可以構造單點連續函數
雖然説狄利克雷函數不是一個連續函數，但是卻可以利用它構造連續函數，確切來説可以利用它來構造在某個區間或者某個點連續的函數。
首先你已經知道了狄利克雷函數雖然不是連續函數，但是它是一個有界函數【0，1】，我們必須瞭解有界與連續有什麼關係。
有界與連續：如果一個函數有界，並且這個函數單調（單調遞增，遞減，不變都可以），那麼這個函數有極限。
通過上述分析，我相信你一定明白了，對於狄利克雷函數函數在構造連續函數方面的優點在哪裏了，就是它是一個一個有界函數，那麼在給它加上個單調的裝備，它就可以變身連續函數了。
首先你要明白，數學中的“連續”是定義在點上的概念，而非某一線段。
所以自然而然存在單點連續函數，請注意，這個單點連續函數只在這個點上連續。
下面是狄利克雷函數構造的單點連續函數。

並且根據狄利克雷函數的性質，僅在點連續，這是一個單點連續的函數。
上面稀里嘩啦一大堆，大白話就是説函數：在x=0處有定義，且在x->0時函數極限存在，所以這個函數在x=0處連續。
自然，狄利克雷函數可以構造單點連續函數，自然多點連續函數也是小菜一碟。如下：
構造出僅在點連續的函數
好了，狄利克雷函數就到這裏了。
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