世界數學七大難題：NP完全問題、霍奇猜想、龐加萊猜想、黎曼假設、楊.米爾斯存在性和質量缺口、納衞爾.斯托可方程、BSD猜想。
1、NP完全問題
例：在一個週六的晚上，參加了一個盛大的晚會。由於感到侷促不安想知道這一大廳中是否有你已經認識的人。宴會的主人提議説，你一定認識那位正在甜點盤附近角落的女士羅絲。不費一秒鐘你就能向那裏掃視，並且發現宴會的主人是正確的。
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如果沒有這樣的暗示你就必須環顧整個大廳，一個個地審視每一個人，看是否有你認識的人。生成問題的一個解通常比驗證一個給定的解時間花費要多得多。
2、霍奇猜想
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二十世紀的數學家們發現了，研究複雜對象的形狀的強有力的辦法。基本想法是問在怎樣的程度上，可以把給定對象的形狀通過把維數，不斷增加簡單幾何營造塊粘合在一起來形成。這種技巧是變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來推廣。
最終導致一些強有力的工具，使數學家在對他們研究中所遇到的形形色色的對象進行分類時取得巨大的進展。不幸的是在這一推廣中，程序的幾何出發點變得模糊起來。在某種意義下必須加上某些沒有任何幾何解釋的部件。
面體應你代領記眾，省鐵。
霍奇猜想斷言，對於所謂射影代數簇這種特別完好的空間類型來説，稱作霍奇閉鏈的部件實際上是稱作代數閉鏈的幾何部件的（有理線性）組合。
3、龐加萊猜想
如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那麼我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點。另一方面如果想象同樣的橡皮帶，以適當的方向被伸縮在一個輪胎面上，那麼不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點的。
蘋果表面是“單連通的”而輪胎面不是。大約在一百年以前龐加萊已經知道，二維球面本質上可由單連通性來刻畫，他提出三維球面（四維空間中與原點有單位距離的點的全體）的對應問題。這個問題立即變得無比困難，從那時起數學家們就在為此奮鬥。
4、黎曼假設
有些數具有不能表示為兩個更小的數的乘積的特殊性質，例如，2、3、5、7等等。這樣的數稱為素數它們在純數學及其應用中都起着重要作用。在所有自然數中這種素數的分佈並不遵循任何有規則的模式然而德國數學家黎曼（1826~1866)觀察到。
素數的頻率緊密相關於一個精心構造的所謂黎曼zeta函數ζ（s)的性態。著名的黎曼假設斷言，方程ζ（s)=0的所有有意義的解都在一條直線上。這點已經對於開始的1，500，000，000個解驗證過。證明它對於每一個有意義的解都成立將為圍繞素數分佈的許多奧祕帶來光明。
5、楊.米爾斯存在性和質量缺口
量子物理的定律是以經典力學的牛頓定律對宏觀世界的方式對基本粒子世界成立的。大約半個世紀以前，楊振寧和米爾斯發現，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何對象的數學之間的令人注目的關係。基於楊.米爾斯方程的預言，已經在全世界範圍內的實驗室中所履行的高能實驗中得到證實。
布羅克哈文、斯坦福、歐洲粒子物理研究所和駐波。描述重粒子、又在數學上嚴格的方程沒有已知的解。被大多數物理學家所確認、並且在他們的對於“夸克”的不可見性的解釋中應用的“質量缺口”假設，從來沒有得到一個數學上令人滿意的證實。問題上的進展需要在物理上和數學上兩方面引進根本上的新觀念。
6、納衞爾.斯托可方程的存在性與光滑性
起伏的波浪跟隨着我們的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的氣流跟隨着我們的現代噴氣式飛機的飛行。數學家和物理學家深信，無論是微風還是湍流，都可以通過理解納維葉.斯托克斯方程的解，來對它們進行解釋和預言。
雖然這些方程是19世紀寫下的，我們對它們的理解仍然極少。挑戰在於對數學理論作出實質性的進展，使我們能解開隱藏在納維葉.斯托克斯方程中的奧祕。
7、BSD猜想
數學家總是被諸如x2+y2=z2那樣的代數方程的所有整數解的刻畫問題着迷。歐幾里德曾經對這一方程給出完全的解答，但是對於更為複雜的方程，這就變得極為困難。事實上正如馬蒂雅謝維奇指出，希爾伯特第十問題是不可解的。
不存在一般的方法來確定這樣的方程是否有一個整數解。當解是一個阿貝爾簇的點時，貝赫和斯維訥通.戴爾猜想認為，有理點的羣的大小與一個有關的蔡塔函數z(s)在點s=1附近的性態。這個有趣的猜想認為，如果z(1)等於0，那麼存在無限多個有理點（解）。如果z(1)不等於0，那麼只存在着有限多個這樣的點。
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