杜如晦跟杜牧有什么关系

没有关系。

杜如晦（585年－630年），字克明，京兆郡杜陵县（今陕西省西安市长安区）人。唐朝初年名相，襄州刺史杜吒之子。[1]

出身京兆杜氏，初仕隋朝，授滏阳县尉。晋阳起兵后，成为唐太宗李世民幕府谋臣，授兵曹参军。迁陕州长史，从平薛仁杲、刘武周、王世充、窦建德叛乱。迁秦王府从事中郎，积极运筹帷幄，为时人所敬服。文学馆建立后，位列十八学士之首。与房玄龄等参与策划“玄武门之变”。