因為A乘A的秩等於A的秩，然後任意矩陣的轉置矩陣的秩與原矩陣的秩相同。
A的秩 = A的行秩 = A的列秩，A^T 是 A 的行列互換，所以 r(A) = r(A^T)。矩陣的列秩和行秩總是相等的，因此它們可以簡單地稱作矩陣 A的秩。通常表示為 rk(A) 或 rank A。
1、設A為m*n的矩陣
2、那麼AX=0的解肯定是 AT*AX=0的解（AT表示A的轉置）
3、至於AT*AX=0 左右兩邊乘以XT，（注意查看是否符合矩陣乘法，前後列行相等才能相乘）
4、上一步化成（AX）T*AX=0，可知AX=0，那麼意味着AT*AX=0的解必定也是AX=0的解
5、兩個方程有相同的解，那麼n-r（ATA）=n-r(A) 。
擴展資料：
矩陣的秩變化規律
(1)轉置後秩不變
(2)r(A)<=min(m，n)，A是m*n型矩陣
(3)r(kA)=r(A)，k不等於0
(4)r(A)=0<=> A=0
(5)r(A+B)<=r(A)+r(B)
(6)r(AB)<=min(r(A)，r(B))
(7)r(A)+r(B)-n<=r(AB)
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