偏導數求極值公式

各個分量的偏導數為0，這是一個必要條件。充分條件是這個多元函數的二階偏導數的行列式為正定或負定的。如果這個多元函數的二階偏導數的行列式是半正定的則需要進一步判斷三階行列式。如果這個多元函數的二階偏導數的行列式是不定的，那麼這時不是極值點。

以二元函數為例，設函數z=f(x，y)在點（x。，y。）的某鄰域內有連續且有一階及二階連續偏導數，又fx(x。，y。），fy(x。，y。）=0，令

fxx(x。，y。)=a，fxy=(x。，y。）=b，fyy=(x。，y。）=c

則f(x，y)在（x。，y。）處是否取得極值的條件是

（1）ac-b*b>0時有極值

（2）ac-b*b<0時沒有極值

（3）ac-b*b=0時可能有極值，也有可能沒有極值如果是n元函數需要用行列式表示。估計你也沒學行列式呢。

偏導數求極值公式

1、x方向的偏導：

設有二元函數 z=f(x，y) ，點(x0，y0)是其定義域D 內一點。把 y 固定在 y0而讓 x 在 x0 有增量 △x ，相應地幔數 z=f(x，y) 有增量（稱為對 x 的偏增量）△z=f(x0+△x，y0)-f(x0，y0)。

如果 △z 與 △x 之比當 △x→0 時的極限存在，那麼此極限值稱為函數 z=f(x，y) 在 (x0，y0)處對 x 的偏導數，記作 f'x(x0，y0)或函數 z=f(x，y) 在(x0，y0)處對 x 的偏導數，實際上就是把 y 固定在 y0看成常數後，一元函數z=f(x，y0)在 x0處的導數。

2、y方向的偏導：

同樣，把 x 固定在 x0，讓 y 有增量 △y ，如果極限存在那麼此極限稱為函數 z=(x，y) 在 (x0，y0)處對 y 的偏導數。記作f'y(x0，y0)。

3、極大值、極小值統稱為極值，使函數取得極值的點稱為極值點。

設n(n>2)元函數

在點

的某個鄰域內有定義，如果對該鄰域內任一異於

的點

都有

或

則稱函數在有極大值(或極小值)。極大值、極小值統稱為極值，使函數取得極值的點稱為極值點。

擴展資料

求多元函數偏導數的關鍵是求某一變元偏導數，把其它變元視為常數。

從偏導數的定義中可以看出，偏導數的實質就是把一個變量固定，而將二元函數看成另一個變量的一元函數的導數．因此求二元函數的偏導數，不需要引進新的方法，只須用一元函數的微分法，把一個自變量暫時視為常量，而對另一個自變量進行求導即可。

在一元函數的微分裏，函數在某點可導必連續，但對二元函數來説，即使它在某點對所有變元的偏導數都存在，但函數在該點也不一定連續這也是一元函數與多元函數的區別之處

偏導數求極值公式

fx(x，y)=3x²+6x-9=0fy(x，y)=-3y²+6y=0解得x1=-3 x2=1 y1=0 y2=2x和y有四種組合 (-3，0) (-3，2) (1，0) (1，2)A=fxx(x，y)=6x+6 B=fxy(x，y)=0 C=fyy=-6y+6(-3，0) A=-12 B=0 C=6AC-B²=-72<

0 所以f(-3，0)不是極值(-3，2) A=-12 B=0 C=-6AC-B²=72>0 且A<

0所以f(-3，2)是極大值(1，0) A=12 B=0 C=6AC-B²=72>0 且A>

0所以f(1，0)是極小值(1，2) A=12 B=0 C=-6AC-B²=-72<0 且A>

0所以f(1，2)不是極值綜上所述所以改函數極大值為f(-3，2)=31極小值為f(1，0)=-5