正交矩陣的特徵值

特徵值一定是1或-1。

(λα，λα) = (Aα，Aα) = (Aα)^T(Aα) = α^TA^TAα

= α^Tα = (α，α)

所以有 λ^2(α，α) = (α，α)

又因為 α≠0， 所以 (α，α)>0

所以 λ^2 = 1

所以 λ = ±1

即正交矩陣的特徵值只能是1或-1。

注意

正交矩陣的最基本置換是換位(transposition)，通過交換單位矩陣的兩行得到。任何n×n置換矩陣都可以構造為最多n1次換位的積。構造自非零向量v的Householder反射，這裏的分子是對稱矩陣，而分母是v的平方量的一個數。

這是在垂直於v的超平面上的反射(取負平行於v任何向量分量)。如果v是單位向量，則Q=I2vv就足夠了。Householder反射典型的用於同時置零一列的較低部分。任何n×n正交矩陣都可以構造為最多n次這種反射的積。