定義
雙曲函數(hyperbolic function)可藉助指數函數定義[1]
雙曲正弦:
雙曲餘弦:
雙曲正切:
雙曲餘切:
雙曲正割:
雙曲餘割:
推導方法為:w=asinh(z),則z=sinh(w)=(exp(w)-exp(-w))/2,和實數範圍內的相似,但注意此時它們是多值函數。
y=(exp(x)-exp(-x))/2,令x,y互換,得到x=(exp(y)-exp(-y))/2,設t=exp(y),則有x=(t-1/t)/2,即t^2-2xt-1,由於t>0,故t=x+(x^2+1)^0.5,y=ln(t)=ln(x+(x^2+1)^0.5)。
在複數範圍內sinh(z)=(exp(z)-exp(-z))/2,cosh(z)=(exp(z)+exp(-z)),asinh(z)=ln(z+(z^2+1)^0.5),acosh(z)=ln(z+(z^2-1)^0.5)。