内接三角形周长最小最简洁证明

三角形内周长最短的内接三角形 证明： 在△ABC 的每条边上各取一点 D、 E、 F， △DEF 称为△ABC 的内接三角形。 试在锐角三角形 ABC 的所有内接三角形中， 求周长最短的三角形。 证明： 可将此题分三步来做 （

设 D 是 BC 上固定点， 求此时的周长最短的内接三角形。 作 D 关于 AB、 AC 的对称点 D1、 D2， 连 D1D2 交 AB、 AC 于E、 F， 则△DEF 为所求。 实际上， 对于△ABC 的任一内接△DE′F′都有 DE′+E′F′+F′D=D1E′+E′F′+F′D2 ≥D1D2=D1E+EF+FD2 =DE＋ EF＋ FD。 就是△DEF 的周长≤△DEF 的周长。 因此， 我们只要对于每一个 BC 上的点 D， 都找出相应于该点的周长最短的内接三角形DEF，在这些三角形中找出周长最短的一个就行。 （

由于 AD1=AD， AD2=AD， 故△AD1D2 是等腰三角形。 又由于∠1=∠2，∠3=∠4，故△AD1D2 的顶角∠D1AD2=2∠BAC 为定值，因此，只有当其腰 AD1 最短时，D1D2 最短。此时必有 AD 最短。从而当 AD为△ABC 的高时， 内接三角形 DEF 的周长最短。 （

当 AD 为△ABC 的高时， 由前面三角形垂足三角形性质， 可证△ABC 的内接三角形中， 以其垂足三角形 DEF 的周长最短。 证毕 其实还可以证明△ABC 的垂心 H 是△DEF 的内心。 由∠BEA=∠BDA=90°， 知 B、 D、 E、 A 共圆， 于是∠CDE=∠BAC。 同样， 由 A、 F、 D、 C 共圆， 可知∠BDF=∠BAC， 于是∠CDE=∠BDF。 从而可知 DA 平分∠EDF。 同理 FC 平分∠DFE，EB 平分∠DEF。故 H 是△DEF 的内心。