正態分佈積分公式

正態分佈標準化的公式：Y=（X-μ）/σ～N（0，1）。

證明因爲X～N（μ，σ^2），所以P（x）=（2π）^（-1/2）*σ^（-1）*exp{[-（x-μ）^2]/（2σ^2）}。

注：F（y）爲Y的分佈函數，Fx（x）爲X的分佈函數。

而F（y）=P（Y≤y）=P（（X-μ）/σ≤y）=P（X≤σy+μ）=Fx（σy+μ）。

所以p（y）=F'（y）=F'x（σy+μ）*σ=P（σy+μ）*σ=[（2π）^（-1/2）]*e^[-（x^2）/2]。從而，N（0，1）。正態分佈標準化的意義是可以方便計算，是一種統計學概念。

原本的正態分佈圖形有高矮胖瘦不同的形態，實際上是積分變換的必然結果，就好比是：

1、y=kx+b直線，它不一定過原點的，但是通過變換就可以了：大Y=y-b大X=kx===>大Y=大X。

2、y=a*b乘積，通過變換就可以變成加法運算：Ln（y）=Lna+Lnb。

3、y=ax²+bx+c通過變換就可以變成標準形式：y=a（x+b/（2a））²+（c-b²/（4a））

正態分佈的標準化也只不過是“積分變換”而已，雖然高矮胖瘦不同的形態，但是變量的線性伸縮變換並不改變其量化特性，雖然標準化以後都變成期望是0，方差是1的標準分佈了，但這種因變量自變量的依賴關係仍然存在，不用擔心會“質變”。

正態分佈積分公式

正態分佈

若連續型隨機變量 X的概率密度爲

其中μ，σ（σ>0）爲常數，則稱 X服從參數爲μ，σ的正態分佈或高斯（Gauss）分佈

1、曲線關於x=μ對稱.這表明對於任意h>0

2、當x=μ時取到最大值

x離μ越遠，f（x）的值越小.這表明對於同樣長度的區間，當區間離μ越遠，X 落在這個區間上的概率越小.

在 x=μ±a處曲線有拐點.曲線以 Ox 軸爲漸近線.

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