線性同構的定義

首先要明確，同構用於向量空間之間的關係，兩個向量談不上什麼同構. 另外一定要講清楚域，比如Q和R在各自的域上都是1維空間，但不同構. 應該把命題修正成域K上的兩個有限維向量空間同構的充要條件是它們有相同的維數. 不論是充分性還是必要性，都從空間的基來着手即可。

兩個代數結構之間的同構首先要求它們之間存在一個1-1對應（雙射），並且這個雙射保持相應代數結構上的運算。這個雙射就稱為同構映射。可見同構映射都是1-1對應，不同之處在於它們保持的代數運算互不相同。

羣中只有一個運算，通常稱為乘法，故羣同構要求存在一個同構映射，它保持乘法。線性空間實際上包含兩個要素：向量的集合V和數域F，運算有兩個：向量的加法、數域中元素與向量的數量乘法。故線性空間的同構要求相應的同構映射保持向量加法和數量乘法。