什麼的微分等於arctanx

x*arctanx-1/2ln(1+x^2)+C的導數等於arctanx。

解：令f(x)的導數等於arctanx。

那麼f(x)=∫arctanxdx

=x*arctanx-∫xdarctanx

=x*arctanx-∫x/(1+x^2)dx

=x*arctanx-1/2*∫1/(1+x^2)d(x^2+1)

=x*arctanx-1/2ln(1+x^2)+C

即x*arctanx-1/2ln(1+x^2)+C的導數等於arctanx。

擴展資料：

1、分部積分法的形式

（1）通過對u(x)求微分後，du=u'dx中的u'比u更加簡潔。

例：∫x^2*e^xdx=∫x^2de^x=x^2*e^x-∫e^xdx^2=x^2*e^x-∫2x*e^xdx

（2）通過對u(x)求微分後使其類型與v(x)的類型相同或相近。

例：∫xarctanxdx=∫arctanxd(1/2x^2)

=1/2x^2*arctanx-1/2∫x^2darctanx=1/2x^2*arctanx-1/2∫x^2/(1+x^2)dx

（3）利用有些函數經一次或二次求微分後不變的性質來進行分部積分。

例：∫e^x*sinxdx=∫sinxde^x=e^x*sinx-∫e^xdsinx=e^x*sinx-∫e^x*cosxdx

=e^x*sinx-∫cosxde^x=e^x*sinx-e^x*cosx+∫e^xdcosx

=e^x*sinx-e^x*cosx-∫e^x*sinxdx

則2∫e^x*sinxdx=e^x*sinx-e^x*cosx，可得

∫e^x*sinxdx=1/2e^x*（sinx-cosx）+C

2、不定積分公式

∫mdx=mx+C、∫1/xdx=ln|x|+C、∫sinxdx=-cosx+C、∫e^xdx=e^x+C