數列收斂的條件

數列收斂的充要條件是它的任何子列都收斂。

任何子列都收斂，可以推導出來所有子列都收斂於同一個值。

證明：反證法，設x的子列x1收斂於a，子列x2收斂於b，那麼構造數列x3。構造方法為，第一個元素取x1的第一個，記為d1，第二個元素取x2中第一個在d1後面的，記為d2（位於d1後面是指，在原數列x中d2在d1後面，由於數列是無窮多的，所以總能找到這麼一個d2），接着在x1中取d3，使其在d2後面......交錯取下去。可以看到得到的新數列x3是子列，但若a不等於b，x3是不收斂的，與任意子列都收斂矛盾，故a等於b，即任意子列收斂到同一個值。