sin反函數求導過程

以y=arcsinx為例，來求反三角函數的求導過程。

（根據函數與反函數的導數關係來證明）

設函數x=siny，y∈(-π/2，π/2)，它的反函數記為為y=arcsinx，x∈(-1，1)

函數f=sinx，x∈(-π/2，π/2)上單調，可導。x'=cosy≠0，y∈(-π/2，π/2)

根據函數與反函數的導數關係

則（arcsinx）'=1/cosy

y∈(-π/2，π/2)時，cosy＞0

所以

同理可以證明函數y=arccosx，y=arctanx，y=arccotx的導數。

【補充】

函數與反函數的導數關係：

設y=f(x)在點x的某鄰域內單調連續，在點x處可導且f'(x)≠0，則其反函數在點x所對應的y處可導，並且有

dx/dy = 1/(dy/dx)

sin反函數求導過程

2反三角函數的導數推導過程

其實很簡單，就是利用dy/dx=1/(dx/dy)，然後進行相應的換元

比如説，對於正弦函數y=sinx，都知道導數dy/dx=cosx

那麼dx/dy=1/cosx

而cosx=√ (1-(sinx)^2)=√(1-y^2)

所以dx/dy=√(1-y^2)

y=sinx可知x=arcsiny，而dx/dy=1/√(1-y^2)

所以arcsiny的導數就是1/√(1-y^2)

為了好看點，再換下元arcsinx的導數就是1/V(1-x^2)