調和級數發散的幾種證明方法

一、方法一

直接從這個結果出發：

S2n-Sn>=1/2

對於任意n成立

則把n變成2n

S4n-S2n>=1/2成立

以次類推S8n-S4n>=1/2

S 下標2^k n -S下標2^(k-1)n >=1/2

把這些統統相加

S 下標2^k n >=k/2

再令k->無窮，即2^k n->無窮，則S無窮=無窮

二、方法二

  利用極限收斂定義：

若一個數列極限存在，則其必為柯西數列

柯西數列An表示對於任意m>n

有|Am-An|->0，當m，n->無窮

此處顯然永遠有m=2n時，|Sm-Sn|>=1/2與Cauchy數列定義矛盾，所以發散