基本形式是什麼意思

第一基本形式

在微分幾何中，第一基本形式（first fundamental form）是三維歐幾里得空間中一個曲面的切空間中內積，由 R3 中標準點積誘導。它使得曲面的曲率和度量性質（比如長度與面積）可與環繞空間一致地計算。第一基本形式用羅馬數字 I 表示：

!mathrm{I}(v，w)= langle v，w rangle.

設 X(u， v) 是一個參數曲面，則兩個切向量的內積為

begin{align}

& {} quad mathrm{I}(aX_u+bX_v，cX_u+dX_v)

& = ac langle X_u，X_u rangle + (ad+bc) langle X_u，X_v rangle + bd langle X_v，X_v rangle

& = Eac + F(ad+bc) + Gbd

end{align}

這裏 E， F，與 G 是第一基本形式的係數。

第一基本形式可以表示為一個對稱矩陣