任何方陣都有特徵值嗎

當然不是所有方陣都有特徵值啦。

我們在線性代數/高等代數中討論的方陣通常是在一個域K上討論的（高等代數課程中僅有多項式矩陣是環上的矩陣），也即方陣的元素來自域K。域K上方陣特徵值的定義是，若K中元素a和K的n維列向量x使得Ax=ax，則a稱為A的特徵值。

為了求特徵值我們一般會先求出特徵多項式，然後對特徵多項式求根得到特徵值。那麼問題就來了，如果特徵多項式在域K中沒有根，則K上的方陣A就不存在特徵值，比如實方陣A=[0，1-1，0]，它的特徵多項式是x方+1，在實數域下不可約，從而無特徵值。

但是由於利用域K中的不可約多項式f總是可以構造擴域，使得f在擴域上有根，所以我們總能將A看作一個擴域上的方陣從而有特徵值。例如上述例子中的A，若視為複數域上的矩陣則有特徵值i和-i。特別的，由於複數域上有代數學基本定理，從而複數域下的方陣總有n個特徵值。