圓錐曲線中點弦性質推導方法幾乎一樣。可採用點差法:把弦端點用座標設出來，分別代入雙曲線方程相減，把含字母除到方程一邊就會分到中點弦性質:弦的斜率與弦中點與座標原點連線斜率之積為a方分之b方。
中點弦公式：py-αx=pβ-α2
中點弦
對於給定點P和給定的圓錐曲線C，若C上的某條弦AB過P點且被P點平分，則稱該弦AB為圓錐曲線C上過P點的中點弦。其中圓錐曲線弦為連接圓錐曲線C上不同兩點A、B的線段AB稱為圓錐曲線C的弦。
二次曲線中點弦性質與蝴蝶定理：
蝴蝶定理是二次曲線一個著名定理，它充分體現了蝴蝶生態美與“數學美”的一致性．不少中數專著或雜誌至今還頻繁討論．本文揭示了它與中點弦性質的緊密聯繫，並給出統一而簡明的證明，指出了一種有用的特殊情形和一種推廣形式．
引理：設兩條不同的二次曲線
S：F(x，y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0
橢圓中點弦公式：
x^2/a^2+y^2/b^2=1上，過給定點P=(α，β)的中點弦所在直線方程為：
αx/a^2+βy/b^2=α^2/a^2+β^2/b^2。
中點弦存在的條件：α^2/a^2+β^2/b^2<1（點P在橢圓內）。
雙曲線中點弦公式
雙曲線C：x^2/a^2-y^2/b^2=1上，過給定點P=(α，β)的中點弦所在直線方程為：
αx/a^2-βy/b^2=α^2/a^2-β^2/b^2。
中點弦存在的條件：(α^2/a^2-β^2/b^2)(α^2/a^2-β^2/b^2-1)>0（點P不在雙曲線、漸近線上以及它們所圍成的區域內）。
橢圓的常見問題以及解法
橢圓通徑長定理，指的是橢圓的通徑AB就是過焦點垂直於長軸的直線與橢圓相交所得的線段AB。可以由勾股定理推導。橢圓中的通徑是通過焦點最短的弦。
例如：有一個圓柱，被截得到一個截面，下面證明它是一個橢圓（用第一定義）：
將兩個半徑與圓柱半徑相等的半球從圓柱兩端向中間擠壓，它們碰到截面的時候停止
那麼會得到兩個公共點，顯然他們是截面與球的切點。
設兩點為F1、F2
對於截面上任意一點P，過P做圓柱的母線Q1、Q2，與球、圓柱相切的大圓分別交於Q1、Q2則PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2
由定義1知：截面是一個橢圓，且以F1、F2為焦點
用同樣的方法，也可以證明圓錐的斜截面（不通過底面）為一個橢圓。
設雙曲線方程為x^2/a^2-y^2/b^2=1
弦上兩點分別為(x1，y1)，(x2，y2)，弦中點為(x0，y0)，弦所在直線的斜率為k
則k=(y1-y2)/(x1-x2)，x0=(x1+x2)/2，y0=(y1+y2)/2
將(x1，y1)，(x2，y2)，代入雙曲線方程
x1^2/a^2-y1^2/b^2=1 （1）
x2^2/a^2-y2^2/b^2=1 （2）
（1）-（2）得
(x1^2-x2^2)/a^2=(y1^2-y2^2)/b^2
[(x1-x2)(x1+x2)]/a^2=[(y1-y2)(y1+y2)]/b^2
得到k=(b^2/a^2)*(x0/y0)
品位站
