勾股定理的證明方法如下：
1、以a b為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等於2分之一ab。
2、AEB三點在一條直線上，BFC三點在一條直線上，CGD三點在一條直線上。
3、證明四邊形EFGH是一個邊長為c的正方形後即可推出勾股定理。
4，用無窮級數證明。
5，用高斯公式證明。
2020-11-13
勾股定理：直角三角形中，兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方，即在以a、b為直角邊，c為斜邊的三角形中有a^2+b^2=c^2。
證法一：
以a、b為直角邊，以c為斜邊做四個全等的三角形，按下圖所示相拼，使A、E、B三點共線，B、F、C 三點共線，C、G、D三點共線。
∵Rt△HAE≌Rt△EBF
∴∠AHE=∠BEF
∵∠AHE+∠AEH=90°
∴∠BEF+∠AEH=90°
∵A、E、B共線
∴∠HEF=90°，四邊形EFGH為正方形
由於上圖中的四個直角三角形全等，易得四邊形ABCD為正方形
∴正方形ABCD的面積=四個直角三角形的面積+正方形EFGH的面積
∴(a+b)^2=4•（1/2）•ab+c^2，整理得a^2+b^2=c^2
證法二：
如上圖所示兩個邊長為a+b的正方形面積相等
所以a^2+b^2+4•（1/2）•ab=c^2+4•（1/2）•ab，故a^2+b^2=c^2。
證法三：
以a、b為直角邊，以c為斜邊做四個全等的三角形，按下圖所示相拼。
易得四邊形ABCD和四邊形EFGH都是正方形
∴正方形ABCD的面積=四個直角三角形的面積+正方形EFGH的面積
∴c^2=4•（1/2）•ab+(b-a)^2 ，整理得a^2+b^2=c^2
證法四：
如下圖所示。
易得△CDE為等腰直角三角形
∴梯形ABCD的面積=兩個直角三角形的面積+一個等腰三角形的面積
∴1/2•（a+b）•（a+b）=2•（1/2）•ab+（1/2）•c^2，整理得a^2+b^2=c^2
證法五：
以a、b為直角邊，以c為斜邊做四個全等的三角形，按下圖所示相拼，使DEF在同一直線上，過C點作CI垂直於DF，交DF於I點。
易得四邊形ABEG、四邊形CBDI、四邊形FGHI都為正方形。
∴多邊形EGHCB的面積=正方形ABEG的面積-兩個直角三角形的面積
且多邊形EGHCB的面積=正方形CBDI的面積+正方形FGHI的面積-兩個直角三角形的面積
∴正方形ABEG的面積=正方形CBDI的面積+正方形FGHI的面積
∴c²=a²+b²
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