(b)>0,令
E={x|f(x)≤0,x∈[a,b]}。
由f(a)<0知E≠Φ,且b為E的一個上界,於是根據確界存在原理
存在ξ=supE∈[a、b]
下證f(ξ)=0(注意到f(a)≠0,f(b)≠0,故此時必有ξ∈(a、b)),事實上
(i)若f(ξ)<0,則ξ∈[a、b),由函數連續的局部保號性知
存在δ>0,對x1∈(ξ,ξ+δ):f(x)<0→存在x1∈E:x1>supE
這與supE為E的上界矛盾
(ii)若f(ξ)>0,則ξ∈(a,b],仍由函數連續的局部保號性知
存在δ>0,對x1∈(ξ-δ,ξ):f(x)>0→存在x1為E的一個上界,且x1<ξ
這又與supE為E的最小上界矛盾。
綜合(i)(ii),即推得f(ξ)=0。
導數公式推導過程如下:
y=a^x,△y=a^(x+△x)-a^x=a^x(a^△x-1),△y/△x=a^x(a^△x-1)/△x。
如果直接令△x→0,是不能導出導函數的,必須設一個輔助的函數β=a^△x-1通過換元進行計算。由設的輔助函數可以知道:△x=loga(1+β)。
所以(a^△x-1)/△x=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β。
顯然,當△x→0時,β也是趨向於0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。
把這個結果代入lim△x→0△y/△x=lim△x→0a^x(a^△x-1)/△x後得到lim△x→0△y/△x=a^xlna。
可以知道,當a=e時有y=e^x y'=e^x。
常用導數:
y = C(C為常數) , y' = 0。
y=xn, y' = nxn-1。
y = ax, y' = lna*ax。
y = ex, y' = ex。
y = logax , y' = 1 / (x*lna)。
y = lnx , y' = 1/x。
y = sinx , y' = cosx。
y = cosx , y' = -sinx。
y = tanx , y' = 1/cos2x = sec2x。
y = cotx , y' = -1/sin2x= -csc2x。
y = arcsinx , y' = 1 / √(1-x2)。
y = arccosx , y' = - 1 /√(1-x2)。
y = arctanx , y' = 1/(1+x2)。