1. 等差數列通項公式
an=a1+(n-1)d
n=1時a1=S1
n≥2時an=Sn-Sn-1
an=kn+b(k,b為常數)推導過程:an=dn+a1-d令d=k,a1-d=b則得到an=kn+b
2. 等差中項
由三個數a,A,b組成的等差數列可以堪稱最簡單的等差數列。這時,A叫做a與b的等差中項(arithmeticmean)。
有關係:A=(a+b)÷2
3. 前n項和
倒序相加法推導前n項和公式:
Sn=a1+a2+a3+·····+an
=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d]①
Sn=an+an-1+an-2+······+a1
=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d]②
由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n個)=n(a1+an)
∴Sn=n(a1+an)÷2
等差數列的前n項和等於首末兩項的和與項數乘積的一半:
Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2
Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)
亦可得
a1=2sn÷n-an=[sn-n(n-1)d÷2]÷n
an=2sn÷n-a1
有趣的是S2n-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1
4. 等差數列性質
一、任意兩項am,an的關係為:
an=am+(n-m)d
它可以看作等差數列廣義的通項公式。
二、從等差數列的定義、通項公式,前n項和公式還可推出:
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈N*
三、若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,則有am+an=ap+aq
四、對任意的k∈N*,有
Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…成等差數列。