一階微分方程特徵方程公式

一、 一階微分方程

dy判斷特徵: ，fxy(，)dx

dy類型一:(可分離變量的方程) ，gxhy()()dx

dy解法(分離變量法):，然後兩邊同時積分。，gxdx()hy()

dy類型二:，，PxyQx()()(一階線性方程) dx

PxdxPxdx()()，，解法(常數變易法): yeCQxedx(())，，

dy，，fxyftxty(，)(，)類型三:(一階齊次性方程) dx

y解法(換元法): 令類型一u，，x

dynP()y=Q(x)y類型四:(伯努利方程) ，xdx

dy，，nn1，，，()()類型二解法(同除法): yPxyQxdx

二、 可降階的高階微分方程

()n類型一: yfx，()

du(1)n，令多次積分求，，，，()()uyfxfx解法(多次積分法):dx

類型二: yfxy''(，')

dp令一階微分方程pyfxp，，，，'(，)解法: dx

類型三: yfyy''(，')

dpdpdydp令類型二pypfyp，，，，，，'(，)解法: dxdydxdy

三、線性微分方程

yPxyQxy''()'()0，，，類型一:(二階線性齊次微分方程)

解法:找出方程的兩個任意線性不相關特解:yxyx()，()12

則: yxcyxcyx()()()，，1122

類型二:(二階線性非齊次微分方程)yPxyQxyfx''()'()()，，

解法:先找出對應的齊次微分方程的通解:yxcyxcyx()()()，，31122

再找出非齊次方程的任意特解，則:yx()yxyxcyxcyx()()()()，，，pp1122

類型三:(二階線性常係數齊次微分方程)ypyq''Ɔ，，

2，，，ppq42解法(特徵方程法):，，，，，，，，pq01，22

，xx212(一) ，，，，，，，，，pqycece40，，1212

x(二) ，，，，，，，，0()，，，yccxe1212

x(三)，，，，，，，，，，0，(cossin)，，，，，，，，iiyecxcx1212

類型四:(二階線性常係數非齊次微分方程) ypyqfx'''()，，

解法(待定係數法):

xyx()(1)型:先找出對應齊次微分方程的通解fxPxe()()， 3m

不是特徵方程的根，k，0

kx，