二階遞推數列公式

在實際做題中常常會遇到二階線性遞推方程需要求解，通常我們使用的是學過的特徵根法。但書上似乎缺少了證明。

既然遞推關係是線性的，自然可以用線性代數的方法研究，每一次遞推視作一次線性變換，那麼遞推n次相當於進行n次線性變換，故求出矩陣的n次冪即可。

二階線性遞推關係的核心是一個二階方陣，可以視作一個平面向量的變換公式。相應的，等比數列的遞推可以視作一個一維向量的變換公式。

我們以前學過的遞推關係大多數是和自變量無關的，一旦和自變量有關，求解也就變得複雜了，但難度更多的是由於不熟悉造成的，而直接設出遞推關係再迭代就是一種減小思維量的好方法。這種思路無論是求解差分方程還是在積分中應用元素法都是比較重要的。

A(n+1)=pAn+kA(n-1)

即A(n+1)+mAn=t[An+mA(n-1)]，展開化簡，兩式聯立，可求m，t

{An+mA(n-1)}為等比數列，公比為t