平方和的公式是如何推導出來的

第一，數學歸納法

證明：

當n=1時，左式=1²=1

右式=1*(1+1)(2*1+1)/6=1*2*3/6=1

所以，當n=1時，等式成立。

假設當n=k時，等式也成立，那麼：

1²+2²+……+k²=k(k+1)(2k+1)/6

則，當n=k+1時，左式

=1²+2²+……+k²+(k+1)²

=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)²

=(k+1)*[(2k²+k)/6+(k+1)]

=(k+1)*(2k²+k+6k+6)/6

=[(k+1)/6]*(2k²+7k+6)

=[(k+1)/6]*(2k+3)(k+2)

=[(k+1)*(k+2)*(2k+3)]/6

={(k+1)*[(k+1)+1]*[2(k+1)+1]}/6

所以，當n=k+1時，等式也成立

綜上： 1²+2²+……+n²=n(n+1)(2n+1)/6

第二，立方差公式作差累加法

證明：n³-(n-1)³=1×[n²+n(n-1)+(n-1)²]=3n²-3n+1

1³-0³=3×1²-3×1+1

2³-1³=3×2²-3×2+1

3³-2³=3×3²-3×3+1

……

n³-(n-1)³=3n²-3n+1

各等式全相加

n³=3×(1²+2²+3²+…+n²)-3(1+2+3+4+…+n)+n

=3×(1²+2²+3²+…+n²)-3n(n+1)/2+n

=3×(1²+2²+3²+…+n²)-n(3n+1)/2

故1²+2²+3²+…+n²=[n³+n(3n+1)/2]/3=n(n+1)(2n+1)/6

第三

第四 ，函數法

設f﹙n﹚=an³﹢bn²﹢cn﹢d

∴d=f﹙0﹚=0 a+b+c+d=f﹙1﹚=1 8a+4b+2c+d=f﹙2﹚=5 27a+9b+3c+d=f﹙3﹚=14

∴a=1/3 b=1/2 c=1/6 d=0

∴f﹙n﹚=﹙1／3﹚n³﹢﹙1／2﹚n²﹢﹙1／6﹚n=n(n+1)(2n+1)/6