arctant導數是什麼

arctanx的導數：y=arctanx，x=tany，dx/dy=sec²y=tan²y+1，dy/dx=1/(dx/dy)=1/(tan²y+1)=1/(1+x²)。

證明過程

三角函數求導公式

(arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2

(arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2

(arctanx)'=1/(1+x^2)

(arccotx)'=-1/(1+x^2)

(arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2)

(arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2)

反函數求導法則

如果函數x=f(y)x=f(y)在區間IyIy內單調、可導且f′(y)≠0f′(y)≠0，那麼它的反函數y=f−1(x)y=f−1(x)在區間Ix={x|x=f(y)，y∈Iy}Ix={x|x=f(y)，y∈Iy}內也可導，且

[f−1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy

[f−1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy

這個結論可以簡單表達為：反函數的導數等於直接函數導數的倒數。

例：設x=siny，y∈[−π2，π2]x=sin⁡y，y∈[−π2，π2]為直接導數，則y=arcsinxy=arcsin⁡x是它的反函數，求反函數的導數.

解：函數x=sinyx=sin⁡y在區間內單調可導，f′(y)=cosy≠0f′(y)=cos⁡y≠0

因此，由公式得

(arcsinx)′=1(siny)′

(arcsin⁡x)′=1(sin⁡y)′

=1cosy=11−sin2y−−−−−−−−√=11−x2−−−−−√

=1cos⁡y=11−sin2⁡y=11−x2

解：令y=arctanx，則x=tany。

對x=tany這個方程“=”的兩邊同時對x求導，則

（x）'=（tany）'

1=sec²y*（y）'，則

（y）'=1/sec²y

又tany=x，則sec²y=1+tan²y=1+x²

得，（y）'=1/（1+x²）

即arctanx的導數為1/（1+x²）。

擴展資料：

2、導數的基本公式

C'=0（C為常數）、（x^n）'=nx^(n-1)、（sinx）'=cosx、（cosx）'=-sinx、（tanx）'=sec²x、（secx）'=tanxsecx